[¯|¯] Dato un sottoinsieme del prodotto cartesiano di due insiemi, determinare la corrispondenza tra gli insiemi

martedì, Luglio 3rd, 2018

insiemi,corrispondenza,prodotto cartesiano — **Fig. 1**

Esercizio
Assegnati gli insiemi S={1,2,3} e S'={4,5,6,7}, determinare la corrispondenza da S verso S', il cui grafico è il seguente sottoinsieme di S×S':

rappresentato in fig. 1.

Soluzione
Per la proposizione dimostrata in questa lezione, F è il grafico della corrispondenza

data da

essendo π₁ e π₂ rispettivamente prima e seconda proiezione del prodotto cartesiano S×S':

Per x=1

Per x=2

Per x=3

Ne concludiamo che il sottoinsieme assegnato è il grafico della seguente corrispondenza da {1,2,3} verso {4,5,6,7}:

così definita:

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[¯|¯] Coppie ordinate, n-ple ordinate. Prodotto cartesiano

sabato, Giugno 16th, 2018

Definizione
Dicesi coppia ordinata l'insieme costituito da due elementi a e b (non necessariamente distinti) dati in quest'ordine. Una coppia ordinata si denota con (a,b).
Tale definizione implica
coppie ordinate,n-ple ordinate,prodotto cartesiano

Ad esempio
coppie ordinate,n-ple ordinate,prodotto cartesiano

mentre

Definizione
L'uguaglianza di due coppie ordinate (a,b) e (a',b') è definita dalla condizione (a,b)=(a',b')<=> a=a',b=b'

Definizione
Dicesi n-pla ordinata l'insieme costituito da n elementi a₁,a₂,...,a_n (non necessariamente distinti) dati in quest'ordine. Una n-pla ordinataordinata si denota con (a₁,a₂,...,a_n).

In base a questa definizione si ha, ad esempio:

Definizione
L'uguaglianza di due n-ple ordinate(a₁,a₂,...,a_n), b₁,b₂,...,b_n
è definita dalla condizione:

Definizione
Assegnati gli insiemi A e B, dicesi prodotto cartesiano o prodotto combinatorio di A per B, l'insieme

Proposizione
Il prodotto cartesiano di A per B non verifica la proprietà commutativa. Cioè

avendosi

Dimostrazione
L'asserto discende dalla definizione di coppia ordinata:

Il prodotto cartesiano si generalizza a n>=2 insiemi A₁,A₂,...,A_n:

In particolare, se A₁=A₂=...=A_n

avendosi

Cioè Aⁿ è l'insieme delle n-ple ordinate di elementi di A. Si pone per definizione:

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