» Esercizi svolti di Matematica e Fisica

[¯|¯] Corpo trattenuto da una fune su un piano inclinato

martedì, Marzo 14th, 2017

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Su un piano inclinato di un angolo α sull'orizzontale, un corpo C di massa m è trattenuto mediante una fune f, come illustrato in fig. 1.

1. Determinare la forza esercitata da f su C nell'ipotesi di attrito trascurabile.
2. Se µ_s è il coefficiente di attrito statico, determinare la minima forza che f deve esercitare su C affinché quest'ultimo resti in quiete.

Dati numerici: α=π/4, m=50kg ,µ_s=0.4.

Soluzione
Assumiamo un sistema di assi cartesiani ortogonali orientati come in fig. 1. In ambedue i casi (senza e con attrito) la componente normale della forza peso (cioè secondo l'asse y) è equilibrata dalla reazione vincolare R_N:

In assenza di attrito affinché C resti in quiete la forza F esercitata dalla fune deve uguagliare la componente tangenziale della forza peso:

In presenza di attrito il vincolo esercita una reazione tangenziale:

il cui valore massimo (moto incipiente) è:

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[¯|¯] Moto su un piano inclinato liscio

lunedì, Marzo 13th, 2017

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Un punto materiale di massa m, posto ad un'altezza h dal suolo si muove partendo da fermo, lungo un piano inclinato privo di attrito e formante un angolo a con l'orizzontale (cfr. fig. 1).
Si dimostri che la velocità con cui il punto arriva alla base del piano inclinato dipende solo da h.

Soluzione

Fissiamo un riferimento cartesiano come in fig. 1, dove l'origine è la posizione iniziale (a t=0) del punto materiale, la cui forza peso ha la seguente rappresentazione cartesiana:

essendo i e j i versori degli assi coordinati. La reazione vincolare R_N è equilibrata dalla componente di mg nella direzione dell'asse y:

Per la seconda legge di Newton

Cioè

da cui l'unica equazione scalare (i.e. il moto è unidimensionale):

equivalente a

Dalla fig. 1:

dove d è l'ascissa della base A del piano inclinato i.e. la distanza totale percorsa dal punto. Quindi

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