« Previous Entries

[¯|¯] Proprietà e teoremi su infinitesimi e infiniti (parte 2)

mercoledì, Marzo 1st, 2017

infiniti,proprietà, parte principale,infinito di riferimento

Fig. 1

Per gli infiniti si dimostra una proposizione analoga:
Proposizione
Siano f1(x) e f2(x) due infiniti equivalenti (per x->x0).
Se fk(x) (k=1,2) è dotato di parte principale rispetto a g(x), si ha che fh(x) (con h diverso da k) è dotato di parte principale (rispetto a g(x)) e le due parti principali coincidono.

Esempio
Consideriamo gli infiniti per x->oo:

infiniti,proprietà, parte principale,infinito di riferimento

Per quanto visto in quest'esempio
infiniti,proprietà, parte principale,infinito di riferimento

onde l'equivalenza degli infiniti assegnati. Determiniamo la parte principale di f1(x) rispetto all'infinito

infiniti,proprietà, parte principale,infinito di riferimento

Innanzitutto calcoliamone l'ordine:

infiniti,proprietà, parte principale,infinito di riferimento

cosicché f1(x) è di ordine 1/2 rispetto a g(x), riuscendo
infiniti,proprietà, parte principale,infinito di riferimento

Abbiamo pertanto la decomposizione:

infiniti,proprietà, parte principale,infinito di riferimento

con
infiniti,proprietà, parte principale,infinito di riferimento

Ciò implica
infiniti,proprietà, parte principale,infinito di riferimento

(altro…)



Posted in Analisi Matematica I | No Comments »

[¯|¯] Proprietà e teoremi su infinitesimi e infiniti

mercoledì, Marzo 1st, 2017

infinitesimi,proprietà, parte principale,infinitesimi di riferimento

Fig. 1. Le funzioni f1(x)=2(1-cosx) e f2(x)=x² sono infinitesimi equivalenti per x->0. Pertanto hanno la stessa parte principale rispetto all'infinitesimo g(x)=sinx. Geometricamente significa che i rispettivi grafici tendono a sovrapporsi in un intorno di x=0.

Proposizione
Siano f1(x) e f2(x) due infinitesimi equivalenti (per x->x0).
Se fk(x) (k=1,2) è dotato di parte principale rispetto a g(x), si ha che fh(x) (con h diverso da k) è dotato di parte principale (rispetto a g(x)) e le due parti principali coincidono.
Dimostrazione
Sia

infinitesimi,proprietà, parte principale,infinitesimi di riferimento

cosicché
infinitesimi,proprietà, parte principale,infinitesimi di riferimento

Per ipotesi f1(x) e f2(x) sono equivalenti:

infinitesimi,proprietà, parte principale,infinitesimi di riferimento

Segue
infinitesimi,proprietà, parte principale,infinitesimi di riferimento

Pertanto
infinitesimi,proprietà, parte principale,infinitesimi di riferimento

onde l'asserto.
c.d.d.
Esempio
Consideriamo gli infinitesimi in x=0:
infinitesimi,proprietà, parte principale,infinitesimi di riferimento

(altro…)



Posted in Analisi Matematica I | No Comments »

« Previous Entries