[¯|¯] Oscillazioni smorzate. Il caso critico (oscillatore criticamente smorzato)

lunedì, Marzo 20th, 2017

oscillatore armonico smorzato,caso critico,resistenza passiva,attrito — **Fig. 1. Evoluzione nello spazio delle configurazioni dello stato meccanico di un oscillatore criticamente smorzato, per differenti valori della posizione iniziale.**

Caso critico (b=b_crit)

L'equazione caratteristica ha una sola radice reale:

per cui un sistema di integrali fondamentali è
oscillatore armonico smorzato,caso critico,resistenza passiva,attrito

Pertanto l'integrale generale dell'equazione differenziale dell'oscillatore armonico smorzato si scrive:
oscillatore armonico smorzato,caso critico,resistenza passiva,attrito

Derivando otteniamo la velocità
oscillatore armonico smorzato,caso critico,resistenza passiva,attrito

Imponendo le condizioni iniziali
oscillatore armonico smorzato,caso critico,resistenza passiva,attrito

si perviene al sistema:
oscillatore armonico smorzato,caso critico,resistenza passiva,attrito

da cui

Quindi l'integrale particolare che ci interessa è:
oscillatore armonico smorzato,caso critico,resistenza passiva,attrito

e la velocità
oscillatore armonico smorzato,caso critico,resistenza passiva,attrito

Assumendo una velocità iniziale nulla le equazioni precedenti si scrivono:
oscillatore armonico smorzato,caso critico,resistenza passiva,attrito

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[¯|¯] Oscillazioni smorzate. Il caso aperiodico

lunedì, Marzo 20th, 2017

oscillatore armonico smorzato,caso aperiodico,resistenza passiva,attrito — **Fig. 1. Alcuni elementi della famiglia di soluzioni del problema di Cauchy relativo a un oscillatore armonico smorzato nel caso aperiodico.**

Abbiamo studiato le oscillazioni libere e forzate di un punto materiale soggetto a una forza elastica unidimensionale nel caso ideale di assenza di resistenze passive. Un modello più realistico deve inglobare resistenze passive in grado di riprodurre la viscosità del mezzo in cui l'oscillatore si muove, nonché gli attriti interni nel materiale elastico che determina la forza di richiamo. Il caso matematicamente più semplice è il regime lineare in cui la predetta resistenza passiva è una funzione lineare ed omogenea della velocità scalare, ed è orientata in verso opposto al vettore velocità. Orientando un asse x nella direzione del moto con origine nella posizione di riposo e verso positivo coincidente con quello di allungamento della molla, il secondo principio della dinamica si scrive:

dove F_R è la resistenza passiva.
Per quanto precede:
oscillatore armonico smorzato,caso aperiodico,resistenza passiva,attrito

Qui b>0 è una costante nota come coefficiente di viscosità. Da ciò segue l'equazione differenziale del moto:
oscillatore armonico smorzato,caso aperiodico,resistenza passiva,attrito

avendo già definito nei post precedenti la pulsazione caratteristica ω0=sqrt(k/m). La predetta equazione è un'equazione differenziale ordinaria (in forma normale) del secondo ordine, lineare ed omogenea. Condizioni iniziali assegnate, danno luogo al seguente problema di Cauchy:
oscillatore armonico smorzato,caso aperiodico,resistenza passiva,attrito