[¯|¯] Oscillazioni forzate. Risonanza

mercoledì, Marzo 22nd, 2017

Abbiamo studiato le oscillazioni forzate in condizioni di idealità, ovvero trascurando le forze di attrito. Nel caso di una sollecitazione esterna funzione sinusoidale del tempo, abbiamo stabilito che se la sua frequenza Ω è di poco inferiore alla frequenza caratteristica ω₀ dell'oscillatore, si verifica il fenomeno dei battimenti (che è una conseguenza delle formule di prostaferesi). In particolare, se Ω=ω₀ si un battimento di frequenza nulla, ovvero il fenomeno della risonanza.

Consideriamo ora uno scenario più realistico: una forza esterna che sia funzione sinusoidale del tempo, applicata a un oscillatore armonico in presenza di forze viscose. Precisamente:

Il secondo principio della dinamica restituisce:
oscillatore armonico smorzato,oscillazioni forzate,risonanza

Dividendo primo e secondo membro per la massa m:
oscillatore armonico smorzato,oscillazioni forzate,risonanza

dove

mentre τ e τ₀ sono le costanti di tempo introdotte in un post precedente, cioè
oscillatore armonico smorzato,oscillazioni forzate,risonanza

Abbiamo così ottenuto un'equazione differenziale ordinaria del secondo ordine lineare non omogenea. Dalla teoria delle equazioni differenziali sappiamo che il suo integrale generale è:
oscillatore armonico smorzato,oscillazioni forzate,risonanza

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[¯|¯] Oscillazioni forzate. Risonanza (parte computazionale)

mercoledì, Marzo 22nd, 2017

Non ci resta che affrontare il caso dell'oscillatore armonico in presenza di attrito e sottoposto a una forza esterna variabile con legge sinusoidale. L'equazione differenziale da risolvere si scrive:

dove

L'integrazione di tale equazione differenziale richiede una miriade di calcoli, per cui ci limitiamo (per ora) ad integrarla con Mathematica.
Scriviamo l'equazione differenziale + condizioni iniziali:

oscillatore armonico smorzato,oscillazioni forzate,risonanza
La soluzione

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