Onde Anticipate | » Esercizi svolti di Matematica e Fisica

Il problema dell'energia negativa e delle «onde anticipate» di Fantappiè

sabato, Aprile 24th, 2021

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Abbiamo visto che in uno stato di impulso definito, il corrispondente autovalore dell'energia è dato da:

da cui constatiamo la comparsa di stati ad energia negativa per una particella relativistica. Ciò pone seri problemi interpretativi, poiché classicamente l'energia di una particella libera è non negativa. In ogni caso, la corrispondente funzione d'onda si scrive:

Come è noto, l'energia può essere espressa in termini di frequenza angolare:

per cui la richiesta di non negatività dell'energia appare «sensata». Si osservi che ciò non si limita ai soli autostati dell'energia: una qualunque sovrapposizione di autostati dell'energia deve presentare termini a «frequenza positiva». Roger Penrose, nel suo libro La strada che porta alla realtà, espone questo problema attraverso un'estensione dell'analisi di Fourier nel campo complesso. Per comprendere questa estensione, facciamo l'esempio banale della serie di Fourier. Precisamente (utilizziamo la notazione di Penrose), sia f(ξ) una funzione reale della variabile reale ξ, e di periodo l. Se sono verificate le condizioni di Dirichlet, possiamo scrivere

che è l'usuale sviluppo in serie di Fourier. Qui abbiamo introdotto la frequenza ω=2ω/l.
L'estensione al campo complesso si realizza introducendo la variabile complessa z=exp(i*ωξ), per cui lo sviluppo in serie di Fourier si riscrive:

che ci ricorda lo sviluppo di Laurent della funzione complessa F(z). Topologicamente, l'estensione al campo complesso si realizza trasformando l'intervallo di periodicità [0,l] nella circonferenza centrata nell'origine e di raggio l. Attraverso argomentazioni basate sull'Analisi complessa, Penrose riesce a "selezionare" nel campo complesso le componenti a «frequenza positiva» da quelle a «frequenza negativa».

A questo punto, potrebbe esserci un legame tra questa richiesta (delle frequenze positive) con la nozione di onda ritardata di Fantappiè, esposta in un numero precedente.

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Le "onde anticipate" di Fantappiè

venerdì, Aprile 23rd, 2021

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Partiamo dall'equazione di D'Alembert 1-dimensionale scritta in forma operatoriale

cosicché le soluzioni sono elementi del Kernel dell'operatore delambertiano, che nella rappresentazione spaziotemporale xt si scrivono

Fisicamente, la più generale soluzione dell'equazione di D'Alembert è una sovrapposizione lineare di un sistema di onde piane, di cui una è progressiva, l'altra regressiva. Una particolare classe di soluzioni è del tipo onda piana monocromatica, i.e. quando f (o g) è sinusoidale. In notazione complessa scriviamo

avendo introdotto il numero d'onde k e la frequenza angolare ω. La linearità dell'equazione di D'Alembert ci consente di sviluppare la soluzione generale in integrale di Fourier rispetto alla variabile tempo:

Imponendo che ψ(x,t) sia una soluzione, si trova una relazione tra ω e k, che non stiamo qui a ricavare. Il predetto sviluppo non fa altro che «decomporre» la soluzione ψ(x,t) in un componenti monocromatiche. Precisamente, la grandezza differenziale

è l'ampiezza delle componenti monocromatiche di frequenza appartenenti all'intervallo infinitesimo [ω,ω+dω]. Si noti che l'integrazione va eseguita da -oo a +oo, cosicché si apre il fastidioso problema dell'interpretazione delle «frequenze negative». Incidentalmente lo spettro che cade in (-oo,0) non può essere ignorato, in quanto ciò violerebbe le ipotesi del teorema che sta alla base dello sviluppo di Fourier (qui c'entra la complicata nozione di «completezza» di un sistema di autofunzioni).

Nel 1943 il matematico italiano Luigi Fantappiè propose la seguente interpretazione delle onde a frequenza negativa: nell'integrale di Fourier procediamo per decomposizione

Nell'integrale I₁ eseguiamo il cambio di variabile ω'=-ω, per cui

cosicché

avendo rinominato omega;' in omega;, giacché si tratta di una variabile muta. Segue banalmente

In altri termini, l'integrale generale della celebre equazione d'onda di D'Alembert si esprime come sovrapposizione lineare di una «onda ritardata» e di una «onda anticipata». Quest'ultima denominazione è legata al fatto che la predetta onda si propaga «indietro nel tempo».