Ne consegue che un qualunque numero complesso si esprime in uno ed un solo modo, come somma di un numero complesso del tipo (x,0) e di un numero complesso del tipo (0,y). Ciò suggerisce di definire i seguenti sottoinsiemi di C:
È facile persuadersi che la struttura algebrica di campo viene trasferita a R'. Innanzitutto osserviamo che R' è chiuso rispetto alle operazioni di addizione e moltiplicazione di elementi di R':
Per quanto visto nella lezione precedente, un numero complesso z=a+ib può essere rappresentato nel piano di Gauss, attraverso il punto di coordinate cartesiane (a,b). Per un assegnato z, è univocamente individuato il segmento orientato che unisce l'origine del riferimento cartesiano del piano di Gauss, con il predetto punto. Come è noto, tale segmento è in realtà un vettore, le cui componenti cartesiane sono manifestamente a e b, e che nella seguente figura:
è indicato con v. Dalla stessa figura vediamo che è stato introdotto l'angolo θ; ricordiamo, infatti, che la posizione di un punto nel piano può essere determinata oltre che dalle coordinate cartesiane (x,y), anche dalle coordinate polari (ρ,θ) note rispettivamente come raggio vettore e anomalia. Nel caso specifico del punto (a,b) riesce: