La particella libera in Meccanica quantistica (parte 1)

giovedì, Aprile 30th, 2020

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Fig. 1


Aggiornamento del file precedente, dove consideriamo il sistema quanto-meccanico più fesso: la particella libera. In particolare, una particella priva di spin che compie un moto nonrelativistico unidimensionale (lungo l'asse x). Prima di buttarci a capofitto sull'hamiltoniano e le sue compatibilità (i.e. commuta o meno) con qualche osservabile etc., rammentiamo questo fatto: gli esercizi di meccanica quantistica hanno in comune il calcolo dello spettro dell'hamiltoniano. Cioè, autovalori e autoket dell'energia e relativa degenerazione. E non fa eccezione la particella libera. Sta di fatto che lo spettro dell'hamiltoniano ci permette di ricostruire la funzione d'onda del sistema, senza andare a risolvere direttamente l'equazione di Schrödinger dipendente dal tempo (che è un'equazione differenziale alle derivate parziali, quindi non facile). Siccome stiamo considerando una particella priva di spin e di massa m vincolata sull'asse x (dove agisce un potenziale V(x)), l'equazione di Schrödinger è .... continua in pdf




[¯|¯] Dalle esercitazioni di Meccanica Quantistica. La notazione di Dirac

lunedì, Luglio 23rd, 2018

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Vettori ket e vettori bra

A un sistema quantistico associamo uno spazio di Hilbert H. Come sappiamo, un tale spazio è caratterizzato da un prodotto interno (o prodotto scalare):

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Dirac non fa altro che prendere la parentesi (bracket) <α|ß> e "spezzarla":

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definendo

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dove H* è lo spazio duale di H. Il fatto di usare le lettere α,ß è ininfluente: ciò che conta sono i simboli |·> e <·|, nel cui interno possiamo mettere "qualunque cosa". Ad ogni vettore ket possiamo associare univocamente il suo bra duale:
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dove CD significa "corrispondenza duale". Segue la proposizione, di cui omettiamo la dimostrazione:
Proposizione

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Osservabili ed operatori hermitiani

In meccanica quantistica grandezze fisiche del tipo energia, impulso, momento angolare, etc. si dicono osservabili, in quanto i loro valori dipendono dal procedimento di misura. A loro volta, le osservabili sono rappresentate da operatori hermitiani nel corrispondente spazio di Hilbert. In generale, un operatore lineare è così definito:

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essendo D(A) il dominio di definizione di A. Segue

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