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[¯|¯] (PARTE 2) Il barcaiolo matematico e le equazioni differenziali

Riprendiamo il il problema della barca del post precedente, dove avevamo considerato un corrente che genera un campo di forze con componente secondo l'asse x pari a una costante. Cosa succede, invece, se tale componente cresce linearmente con la distanza della sponda di partenza? Per rispondere al quesito non dobbiamo fare altro che riprendere il sistema di equazioni differenziali del moto:

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[¯|¯] Il barcaiolo matematico e le equazioni differenziali (parte 1)

Una barca priva di propulsione parte da un punto della sponda di un fiume, diretta sulla sponda opposta (distante d) con velocità costante (v₀), come illustrato in figura:

dove è istituito un riferimento cartesiano ortogonale con l'origine nel punto di partenza della barca, e asse x coincidente con la sponda di partenza. Nel fiume è attiva una corrente che esercita una forza

sulla barca, rappresentata dalla seguente funzione vettoriale:

essendo i il versore dell'asse x. Si determini l'equazione della traiettoria della barca, nonché le coordinate cartesiane del punto Q in cui la barca raggiunge la sponda opposta e il tempo impiegato, nel caso di forza costante: F_x(y)=F₀.

Soluzione

Il riferimento cartesiano suggerito dal testo dell'esercizio è manifestamente un sistema di riferimento inerziale. La funzione vettoriale data dal testo dell'esercizio è definita nella striscia di piano individuata dalla regione:

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