Caos deterministico

domenica, Aprile 19th, 2020

Proponiamo una routine in ambiente Mathematica per lo studio dell'evoluzione dinamica nel dominio delle configurazioni di un semplice sistema governato da un'equazione differenziale del tipo Bernoulli (passando poi alla corrispondente equazione alle differenze finite).

A seconda dei valori assunti dall'unico parametro libero, il sistema può evolvere rapidamente verso la configurazione di equilibrio, oppure oscillare intorno a tale configurazione (oscillatore stabile di periodo 2, 3, 4, etc.) oppure esibire un comportamento caotico (oscillatore con infiniti periodi. Ergodicità: esplora l'intero spazio delle configurazioni).

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[¯|¯] Modelli epidemiologici e mappa logistica

lunedì, Marzo 2nd, 2020

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I sistemi dinamici del tipo mappa logistica che descrivono l'evoluzione di una popolazione di individui (insetti, batteri, virus), sono sistemi autonomi.

Più precisamente, se N(t) è la popolazione a un istante generico t, si ha che in questi modelli, tale funzione è una soluzione del seguente problema di Cauchy

dove f(N) è un'assegnata funzione lipschitziana.

Dalla teoria delle equazioni differenziali, sappiamo che una tale equazione è autonoma, nel senso che f non dipende esplicitamente dal tempo. Dal momento che la mappa logistica deriva da un caso particolare del problema scritto più sopra, i predetti sistemi sono autonomi. Ciò consente di passare alla corrispondente equazione alle differenze finite, che va risolta ricorsivamente in modo da riprodurre le ben note proprietà di tali sistemi attraverso la ricerca di fixed points(e quindi, attrattori, ergodicità, caoticità, etc.).
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