[¯|¯] Integrale curvilineo esteso ad un arco di lemniscata

martedì, Dicembre 13th, 2016

lemniscata di Bernoulli,coordinate polari,integrale di circuitazione

Fig. 1

Esercizio
Calcolare l'integrale di circuitazione:

lemniscata di Bernoulli,coordinate polari,integrale di circuitazione

dove Γ è il lobo destro della lemniscata di Bernoulli

Soluzione

Il cammino di integrazione è parametricamente esprimibile come:

lemniscata di Bernoulli,coordinate polari,integrale di circuitazione

ed è tracciato in fig. 1.
Assumiamo un riferimento curvilineo con origine nel polo e s contata positivamente nel verso antiorario, per cui la funzione s(t) è strettamente crescente.
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[¯|¯] La lemniscata di Bernoulli

martedì, Dicembre 13th, 2016

lemniscata di Bernoulli,coordinate polari,coordinate cartesiane

Fig. 1

La lemniscata di Bernoulli ha equazione polare:

lemniscata di Bernoulli,coordinate polari,coordinate cartesiane

Ne segue che se denotiamo con γ il luogo geometrico del piano la cui equazione in coordinate polari è data dalla equazione precedente, si ha:

lemniscata di Bernoulli,coordinate polari,coordinate cartesiane

ove

lemniscata di Bernoulli,coordinate polari,coordinate cartesiane

essendo

lemniscata di Bernoulli,coordinate polari,coordinate cartesiane

Cioè la lemniscata è composta da due rami simmetrici rispetto all'asse polare.
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