[¯|¯] Proprietà e teoremi su infinitesimi e infiniti

mercoledì, Marzo 1st, 2017

infinitesimi,proprietà, parte principale,infinitesimi di riferimento

Fig. 1. Le funzioni f1(x)=2(1-cosx) e f2(x)=x² sono infinitesimi equivalenti per x->0. Pertanto hanno la stessa parte principale rispetto all'infinitesimo g(x)=sinx. Geometricamente significa che i rispettivi grafici tendono a sovrapporsi in un intorno di x=0.

Proposizione
Siano f1(x) e f2(x) due infinitesimi equivalenti (per x->x0).
Se fk(x) (k=1,2) è dotato di parte principale rispetto a g(x), si ha che fh(x) (con h diverso da k) è dotato di parte principale (rispetto a g(x)) e le due parti principali coincidono.
Dimostrazione
Sia

infinitesimi,proprietà, parte principale,infinitesimi di riferimento

cosicché
infinitesimi,proprietà, parte principale,infinitesimi di riferimento

Per ipotesi f1(x) e f2(x) sono equivalenti:

infinitesimi,proprietà, parte principale,infinitesimi di riferimento

Segue
infinitesimi,proprietà, parte principale,infinitesimi di riferimento

Pertanto
infinitesimi,proprietà, parte principale,infinitesimi di riferimento

onde l'asserto.
c.d.d.
Esempio
Consideriamo gli infinitesimi in x=0:
infinitesimi,proprietà, parte principale,infinitesimi di riferimento

(altro…)



Posted in Analisi Matematica I | No Comments »