» Esercizi svolti di Matematica e Fisica

[¯|¯] Alcune osservazioni sulle funzioni sommabili

sabato, Marzo 2nd, 2019

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Abbiamo stabilito l'esistenza di una classe di funzioni continue in (-oo,+oo) ed ivi sommabili, pur non annullandosi all'infinito. La più generale funzione della predetta classe è:

ove b > 0, mentre η(x) se non è una costante è divergente all'infinito. invece, la funzione χ(x) è periodica. Ad esempio:

Per quanto stabilito:

Ciò è una conseguenza del fatto che i criteri di sommabilità esprimono condizioni sufficienti ma non necessarie. Nel caso particolare della sommabilità in un intervallo illimitato, si ha, ad esempio:

Ciò premesso, dimostriamo il teorema:

Teorema

Dim.

Per fissare le idee, supponiamo X=(a,+oo). Procediamo per assurdo, negando la tesi:

dove

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[¯|¯] Criterio 2 di sommabilità (utile per gli esercizi)

domenica, Febbraio 24th, 2019

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Criterio 2
Sia f continua in [a,b]-{x₀}, con x₀ tale che f è ivi un infinito di ordine α rispetto all'infinito di riferimento

1. f è sommabile in [a,b] se α < 1.
2. f non è sommabile in [a,b] se α >= 1.

Dim.

Dimostriamo la prima parte del teorema. Per ipotesi

Per definizione di limite

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