In più variabili la derivabilità non implica la continuità

domenica, Gennaio 10th, 2021

derivabilità,continuità,funzioni di più variabili — **Fig. 1**

Nel caso di funzioni di una variabile, la derivabilità in un punto è condizione sufficiente per la continuità nello stesso punto. Di contro, per una funzione di più variabili, l'esistenza delle derivate parziali del primo ordine in un assegnato punto non implica la continuità. Ad esempio, abbiamo visto che la funzione

non è continua in (0,0). Mostriamo che f è ivi derivabile. Le regole di derivazione restituiscono:

Per calcolare le derivate in (0,0) dobbiamo applicare la definizione di derivata (limite del rapporto incrementale). Ad esempio:

per cui

In the case of functions of one variable, the differentiability in a point is a sufficient condition for continuity in the same point. On the other hand, for a function of several variables, the existence of first order partial derivatives in a given point does not imply continuity. For example, we have seen that function

it is not continuous in (0,0). We show that f is differentiable there. The derivation rules return:

To calculate the derivatives in (0,0) we need to apply the definition of derivative (limit of the incremental ratio). For example:

But

for which

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[¯|¯] Funzioni di più variabili. Ipersuperfici di livello. Curve di livello

lunedì, Novembre 13th, 2017

funzioni di più variabili,curve di livello,ipersuperfici di livello,curve di livello — **Fig. 1**

Sia X un sottoinsieme non vuoto di Rⁿ.
Definizione 1
Una funzione reale f delle n variabili reali x_{k} (k=1,2,...,n) è una legge:

che ad ogni P(x₁,x₂,...,x_n)di X associa univocamente il numero reale f(x₁,x₂,...,x_n). L'insieme X è l'insieme di definizione della funzione.

Definizione 2
Dicesi diagramma cartesiano o grafico di una funzione f definita in X, l'insieme di punti: