Derivata della funzione gradino unitario (unitstep)

domenica, Gennaio 24th, 2016

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In questo post esaminiamo un caso interessante di funzione non derivabile in un punto assegnato. Stiamo parlando della funzione gradino unitario o unit step, graficata qui:

Intuitivamente, la derivata prima di tale funzione esplode in singolarità quando ci avviciniamo a x=0 da sinistra, poichè la funzione "salta" da 0 a 1. Se invece marciamo verso l'origine da destra, la funzione è costantemente 1, per cui la derivata è nulla. Se però, utilizziamo delle "funzioni di prova" che approssimano la derivata, vediamo che la derivata della unit step altro non è che la delta di Dirac, come possiamo leggere nei seguenti appunti:
derivata_unitstep.pdf

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[¯|¯] Funzione di Heaviside, funzione signum

mercoledì, Settembre 17th, 2014

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Funzione di Heaviside (o gradino unitario o unitstep)

È così definita:

Per definizione di grafico:

Segue

dove:

Cioè il grafico di tale funzione è l'unione della semiretta y=1 di origine (0,1) e del semiasse negativo x privato dell'origine. e si proietta sull'asse x in X=R e sull'asse y in θ(R)={0,1}, come mostrato in figura:

La funzione gradino unitario si generalizza nel seguente modo. Assegnato x₀ in R definiamo:

Il grafico è

essendo

Ne concludiamo che il grafico della funzione unitstep generalizzata è l'unione della semiretta y=1 di origine il punto (x₀,1) e della semiretta y=0 (con x < x ₀) di origine il punto (x₀,0) e privata di tale punto, come illustrato in figura:

Funzione signum

È così definita:

Esplicitando:

Quindi

Da tale equazione possiamo dedurre l'origine del nome dato alla funzione signum, dove "signum" sta per "segno". Infatti, tale funzione agisce alla stregua di un operatore, il quale applicato a un numero reale x restituisce +1 se x > 0, 0, se x=0 e -1 se x < 0. Utilizzando la terminologia informatica, sgnx restituisce gli stati logici +1,0,-1 che definiscono il segno del numero reale x. In altri termini, la funzione signum esegue un'estrazione del segno di un qualunque x preso in R.
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