Limite di funzioni ricorsive. Frattalità

venerdì, Marzo 11th, 2016

L'argomento di questo post tratta un'idea nata da una conversazione sul gruppo Matematica di Facebook.
Assegnata la funzione

abbiamo visto che denotando con f_n(x) la composizione n-esima di f(x) con se stessa:

limiti,funzioni,ricorsione,iterazione,frattali

si ha:

dove:

Ci poniamo ora il seguente problema:

Problema
Qual è il comportamento di g_n(x) per x->0 se il numero n delle iterazioni tende a +oo?

Iniziamo con l'osservare che l'intero naturale n svolge il ruolo di parametro, nel senso che per un assegnato n (eventualmente per n->+oo), noi studiamo il comportamento di g_n(x) nel limite per x->0. Da un punto di vista formale, possiamo tentare di risolvere il problema proposto assumendo n come variabile indipendente, considerare cioè la funzione reale g(x,n) definita in A: