[¯|¯] Flusso di un campo vettoriale attraverso una superficie piana

venerdì, Novembre 8th, 2019

flusso di un campo vettoriale,superficie,piano — **Fig. 1**

L'esercizio di Analisi vettoriale che proponiamo in questo post rappresenta una buona occasione per ripassare gli integrali di superficie. Bisogna infatti, calcolare il flusso di un vettore attraverso la superficie di una porzione di piano (fig. 1). Verranno utilizzate formule di geometria differenziale per ciò che riguarda la determinazione dell'elemento di superficie, anche se poi quest'ultimo può essere calcolato quasi al "volo", come illustrato nella predetta figura, tenendo a mente la nozione di "coseni direttori" di una retta orienta (geometria analitica).
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[¯|¯] Il Teorema della divergenza nello spazio euclideo 3-dim.

lunedì, Luglio 22nd, 2019

teorema della divergenza,flusso di un campo vettoriale — **Fig. 1**

I risultati precedenti si generalizzano immediatamente al caso tridimensionale ovvero allo spazio euclideo R³. Più specificatamente, si scrivono le formule di Green nello spazio per poi formulare il teorema della divergenza.
Definizione

A un campo vettoriale F(x,y,z) possiamo associare il seguente campo scalare:

che si dice divergenza di F.

Teorema della divergenza

Assegnato un campo vettoriale F(x,y,z) sufficientemente regolare in un dominio D di R³, comunque prendiamo A contenuto in D, si ha:

Per "sufficientemente regolare" intendiamo quanto segue: le componenti cartesiane di F sono funzioni continue in D e ivi dotate di derivate parziali continue.