» Esercizi svolti di Matematica e Fisica

[¯|¯] Cercasi disperatamente fattore integrante

lunedì, Ottobre 14th, 2019

A volte un'equazione differenziale (ordinaria) del primo ordine, non è data in forma normale, bensì in una forma del tipo Xdx+Ydy=0 ove i coefficienti sono funzioni delle variabili x,y sufficientemente regolari (di solito è richiesta l'appartenenza alla classe C^1 su un campo semplicemente connesso di R^2). Questa forma richiama le famigerate forme differenziali lineari e la loro integrabilità. In effetti, se il primo membro è un differenziale esatto, siamo a cavallo e l'equazione si integra facilmente. Altrimenti, dobbiamo determinare un fattore integrante...
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[¯|¯] Sistemi dinamici autonomi lineari

domenica, Giugno 10th, 2018

Definizione
Un sistema dinamico autonomo

è lineare se la funzione f(x) è lineare. Nel caso contrario, il sistema è non lineare.
Per un sistema lineare si ha, quindi

dove α,ß sono costanti reali. Se ß=0 il sistema è lineare ed omogeneo. Se α=ß=0 il sistema si dice banale ed ammette infinite soluzioni.
Si osservi che la definizione di linearità si conserva anche nel caso di non-autonomia. Precisamente, un sistema non-autonomo:

è lineare se la funzione f(t,x) è lineare in x. Cioè, il più generale sistema dinamico non-autonomo lineare è:

con α(t),ß(t) funzioni continue [t₀,+oo).
Ritorniamo ai sistemi autonomi lineari:

Come è noto, si cerca un fattore integrante:

per cui

Cioè

Integrando primo e secondo membro, otteniamo l'integrale generale:

dove C è una costante di integrazione.

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