Evoluta della parabola

martedì, Dicembre 29th, 2020

Evoluta della parabola

Esercizio

Trovare l'evoluta della parabola y²=2px.


Soluzione
Una rappresentazione parametrica della parabola assegnata è


Dobbiamo utilizzare le ben note equazioni per calcolare le coordinate del centro di curvatura:

Abbiamo

Quindi

Siccome l'evoluta è il luogo dei centri di curvatura, le equazioni appena scritte costituiscono una rappresentazione parametrica di tale curva. Riscriviamole per chiarezza nella forma consueta:

Per vedere di quale curva si tratta, eliminiamo il parametro t. Ad esempio, dalla prima ricaviamo

che sostituito nella seconda, dopo qualche passaggio:


cioè una semicubica con cuspide in (p,0), e che interseca la parabola nei punti

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