[¯|¯] Derivazione complessa. Funzioni olomorfe

mercoledì, Maggio 3rd, 2017

Assegnato un sottoinsieme E di R², consideriamo una funzione da E a C (campo complesso):

Come è noto, la coppia ordinata di variabili reali (x,y) individua il numero complesso z=x+iy, o ciò che è lo stesso, un punto del piano di Gauss come illustrato in figura:

La funzione f è una funzione complessa della variabile complessa z. Ciò premesso, consideriamo un campo A (limitato o illimitato) contenuto in E. Assegnato z0 in A, in corrispondenza di un incremento Δz tale che (z₀+Δz) appartiene ad A, l'incremento della funzione f è Δf=f(z₀+Δz)-f(z₀).
Definizione
Si dice rapporto incrementale complesso di incremento Δz, relativo alla funzione f e al punto z₀, il rapporto

Il rapporto incrementale è una funzione complessa della variabile complessa Δz=Δx+iΔy, il cui insieme ha per punto di accumulazione il punto Δz=0, i.e. (Δx,Δy)=(0,0), per cui ci poniamo il problema dell'esistenza del limite:

avendo denotato con x₀ e y₀ rispettivamente la parte reale e la parte immaginaria di z₀. Se tale limite esiste ed è finito, diremo che f è derivabile in modo complesso nel punto z₀, scrivendo:
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che è la derivata complessa di f in z₀. Se f risulta derivabile in ogni punto z di A, diremo che f è derivabile in modo complesso A. Resta quindi definita una nuova funzione, ovvero la derivata complessa f'(z) che può, a sua volta ammettere una derivata complessa, cioè la derivata complessa seconda della funzione f(z) e così via per le derivate di ordine superiore.
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