Derivato di un insieme. Punti di aderenza. Insiemi compatti

venerdì, Febbraio 19th, 2021

Definizione
Comunque prendiamo un insieme X, si dice derivato di X l'insieme dei suoi punti di accumulazione al finito (fig.1 )

Definizione
Un insieme X è chiuso se contiene il proprio derivato:

Ne segue che X è chiuso in uno dei due casi: 1) X è privo di punti di accumulazione al finito; 2) X ammette punti di accumulazione al finito, i quali appartengono a X.
Ad esempio, l'insieme N degli interi naturali è chiuso, giacché è privo di punti di accumulazione al finito. Tuttavia, è facile persuadersi che +oo è di accumulazione per N. Alla stesso modo, l'insieme Z degli interi relativi è chiuso. Gli unici punti di accumulazione sono all'infinito: +oo e -oo.

Segue immediatamente la proposizione: Il derivato di un qualunque insieme è chiuso.
Definiamo

Se x0 appartiene a X significa che si verifica uno dei seguenti casi: 1) x0 è punto isolato; x0 è punto di accumulazione al finito appartenente a X; 3)x0 è punto di accumulazione al finito non appartenente a X.

Definizione
Si dice che x0 è un punto di aderenza per X. L'insieme X si dice l'di aderenza di X.

Enunciamo senza dimostrare: l'aderenza di un qualunque insieme X è un insieme chiuso. Inoltre X è chiuso se e solo se coincide con la propria aderenza. Utilizzando un linguaggio suggestivo ma efficace, possiamo dire che l'aderenza di X è il più piccolo insieme chiuso contenente X. E per questa ragione l'aderenza di chiama anche la chiusura di X.
Un insieme X si dice compatto se è chiuso e limitato. Ad esempio, un qualunque intervallo [a,b] è un insieme compatto.

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