[¯|¯] Oscillazioni libere con attrito. Implementazione in Mathematica

martedì, Marzo 21st, 2017

oscillatore armonico smorzato,decremento logaritmico,resistenza passiva,attrito — Fig. 1. Nell'oscillatore in alto, le forze di attrito sono dominanti, per cui nila particella non compie oscillazioni. Al centro una situazione simile, ma critica. L'oscillatore in basso compie oscillazioni esponenzialmente smorzate.

Ora che abbiamo compreso appieno la fisica del problema delle oscillazioni smorzate, ed aver risolto analiticamente l'equazione differenziale del moto per assegnate condizioni iniziali, possiamo affidarci a un software di calcolo simbolico/numerico come ad esempio, Mathematica. A tale scopo, riscriviamo l'equazione che ci interessa:

con le condizioni iniziali:
oscillatore armonico smorzato,decremento logaritmico,resistenza passiva,attrito

L'equazione differenziale è controllata dai parametri:

Dal momento che dobbiamo ricostruire in software l'evoluzione dinamica dell'oscillatore, è preferibile fissare una volta per tutte il valore di τ, lasciando come parametro la costante di tempo τ₀. Fisicamente, ciò equivale ad assegnare la forza di attrito e variare la costante elastica della molla. In tal caso è possibile ricostruire i tre casi:

I predetti comportamenti sono riassunti in fig. 1.
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[¯|¯] Oscillazioni smorzate con legge esponenziale. Decremento logaritmico

martedì, Marzo 21st, 2017

Caso oscillatorio smorzato (b < b_crit)

Prima di affrontare il caso n. 3 (oscillazioni smorzate), sintetizziamo i risultati raggiunti , in modo da comprendere la fisica che c'è dietro questo problema matematico. Innanzitutto riscriviamo l'equazione differenziale del moto nella forma:

Ricordiamo che τ=(2m)/b è la costante di tempo della resistenza passiva, quindi delle forze di attrito. Abbiamo poi introdotto una nuova grandezza avente le dimensioni di un tempo:
oscillatore armonico smorzato,decremento logaritmico,resistenza passiva,attrito

legata al periodo T₀ delle oscillazioni armoniche in assenza di attrito, dalla relazione:

In altri termini, la grandezza τ₀ fissa la scala dei tempi delle oscillazioni caratteristiche del sistema. Ne consegue che le condizioni di aperiodicità e di criticità si riscrivono:

τ<τ₀ significa che le forze di attrito sono più "efficienti" della forza elastica, giacché hanno una scala dei tempi minore. Per τ=τ₀ si ha, invece, un equilibrio che da luogo al caso "critico" in cui il moto non è ancora oscillante.
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