Pandemia, ovvero una sovrapposizione di un problema di Cauchy e di un problema ai limiti

lunedì, Marzo 30th, 2020

coronavirus,problema di Cauchy,crescita esponenziale,problema ai limiti

Nel caso della pandemia da Coronavirus potrebbe essere utile il paradigma delle equazioni differenziali. L'opzione più logica consiste nell'impostare un problema di Cauchy compatibile e determinato (cioè che ammette una ed una sola soluzione). Si cerca allora di scrivere innanzitutto un'appropriata equazione del primo ordine. La difficoltà principale risiede nel fatto che tale equazione contiene delle funzioni non note, per cui il predetto problema è indeterminato. Al tempo stesso conosciamo le condizioni ai limiti: N(0)=N₀, e l'altra ovviamente per t->+oo.
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Coronavirus: non c'è mai stata una crescita esponenziale

sabato, Marzo 28th, 2020

coronavirus,crescita esponenziale,equazioni differenziali,integrazione numerica — **Fig. 1**

Il nostro punto di partenza è una popolazione a tre componenti:

Attualmente positivi.
Guariti.
Deceduti.

Se A(t),G(t) e D(t) sono le funzioni che conteggiano gli individui di singola componente, si ha che il numero di contagiati totali al tempo t, è dato da:

Assumiamo che N(t) sia l'unica soluzione del seguente problema di Cauchy

essendo t₀=0d =24/02/2020, mentre 0 < λ <= 1 è un parametro da definire computazionalmente. Nel paradigma dei sistemi dinamici, l'equazione differenziale appena scritta definisce un sistema non autonomo, in quanto la funzione f(t,N)=a(t)N^λ a secondo membro dipende esplicitamente dal tempo. Inoltre, la maggior parte dei modelli di crescita di una popolazione prevedono una proporzionalità tra la velocità di diffusione N ed dN/dt. Incidentalmente nel caso speciale α(t)=C, =1, λ si ha la crescita esponenziale:

si ha una crescita esponenziale. Nel caso generale non conosciamo la funzione α(t) se non attraverso i dati giornalieri forniti dal sito web della Protezione civile. Per poter inserire questi dati in un'equazione differenziale del tipo visto sopra, dobbiamo necessariamente eseguire un campionamento della variabile t con ampiezza di campionamento pari a 1 d , in modo da poter scrivere: