[¯|¯] Traiettoria di un proiettile in coordinate polari

mercoledì, Gennaio 8th, 2020

proiettile,coordinate polari,mathematica,polarplot — **Fig. 1**

Esercizio
Scrivere l'equazione della traiettoria di un proiettile in coordinate polari. (Si trascuri la resistenza dell'aria).

Soluzione
Ricordiamo che le equazioni orarie di un proiettile (in assenza di resistenza dell'aria) rispetto a un sistema di riferimento cartesiano Oxy nel piano verticale in cui si svolge il moto, sono:

dove v₀ è il modulo del vettore velocità, mentre θ è l'angolo che tale vettore forma con l'asse x (angolo di lancio o alzo). Eliminando il parametro t dalle precedenti equazioni, otteniamo la rappresentazione cartesiana della traiettoria:

in cui riconosciamo un arco di parabola per l'origine e concava verso il basso. Scriviamo le equazioni che connettono le coordinate cartesiane a quelle polari (r,φ)

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[¯|¯] Esercizio 2 svolto sul moto piano in coordinate polari

sabato, Dicembre 21st, 2019

moto piano,coordinate polari,velocità radiale, velocità trasversale — **Fig. 1**

Esercizio

Studiare il seguente moto piano in coordinate polari:

dove n è un intero naturale non nullo con le dimensioni dell'inverso di un tempo, mentre γ > 0 è una costante con le dimensioni dell'inverso di un tempo. Quale è il minimo valore di r₀?

Soluzione
Vediamo innanzitutto che deve essere r(t) >= 0, per cui

Osservando che sin(nt)> = -1, si ha r₀ > = 1/2. Tale grandezza è il valore iniziale (a t=0) del raggio vettore. Ne consegue che il raggio vettore del punto materiale oscilla sinusoidalmente tra r₀-1/2 e r₀+1/2. L'anomalia φ invece, oscilla sinusoidalmente intorno alla retta di coefficiente angolare γ. Passando alle coordinate cartesiane, otteniamo la seguente rappresentazione parametrica della traiettoria: