Convergenza totale di una serie di funzioni

martedì, Novembre 9th, 2021

convergenza totale di una serie di funzioni
Fig. 1

Sia data la serie di funzioni Σnfn(x) in X (sottoinsieme di R).
Definizione

  1. ogni funzione fn(x) è limitata in X;
  2. ΣnΛn converge, essendo Λn l'estremo superiore di |fn(x)| in X. Cioè

    3. diremo che la serie assegnata è totalmente convergente in X.


Ad esempio consideriamo in (-oo,+oo)


per cui

avendosi


Ne segue la totale convergenza della serie

Nel grafico di fig. 1 riportiamo l'andamento della somma (calcolata con Mathematica.

Dimostriamo ora un importante teorema secondo cui la convergenza totale è una condizione più forte della convergenza uniforme.
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