[¯|¯] Oscillazioni smorzate. Il caso aperiodico

lunedì, Marzo 20th, 2017

oscillatore armonico smorzato,caso aperiodico,resistenza passiva,attrito — **Fig. 1. Alcuni elementi della famiglia di soluzioni del problema di Cauchy relativo a un oscillatore armonico smorzato nel caso aperiodico.**

Abbiamo studiato le oscillazioni libere e forzate di un punto materiale soggetto a una forza elastica unidimensionale nel caso ideale di assenza di resistenze passive. Un modello più realistico deve inglobare resistenze passive in grado di riprodurre la viscosità del mezzo in cui l'oscillatore si muove, nonché gli attriti interni nel materiale elastico che determina la forza di richiamo. Il caso matematicamente più semplice è il regime lineare in cui la predetta resistenza passiva è una funzione lineare ed omogenea della velocità scalare, ed è orientata in verso opposto al vettore velocità. Orientando un asse x nella direzione del moto con origine nella posizione di riposo e verso positivo coincidente con quello di allungamento della molla, il secondo principio della dinamica si scrive:

dove F_R è la resistenza passiva.
Per quanto precede:
oscillatore armonico smorzato,caso aperiodico,resistenza passiva,attrito

Qui b>0 è una costante nota come coefficiente di viscosità. Da ciò segue l'equazione differenziale del moto:
oscillatore armonico smorzato,caso aperiodico,resistenza passiva,attrito

avendo già definito nei post precedenti la pulsazione caratteristica ω0=sqrt(k/m). La predetta equazione è un'equazione differenziale ordinaria (in forma normale) del secondo ordine, lineare ed omogenea. Condizioni iniziali assegnate, danno luogo al seguente problema di Cauchy:
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