» Esercizi svolti di Matematica e Fisica

[¯|¯] Verso una teoria topologica della mente

domenica, Aprile 9th, 2017

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Immaginiamo una formica che si sposta su un filo d'erba come in figura 1 L'unica cosa che può fare la formica (escludendo eventuali cadute) è spostarsi in "avanti" o "indietro". Ho messo le virgolette perchè avanti/indietro sono fissati ad arbitrio (cioè l'avanti può essere il dietro per un osservatore o viceversa). In questo caso il filo d'erba rappresenta una curva ovvero uno spazio a una sola dimensione. Quindi la formica nei suoi spostamenti non fa che ORIENTARE questo spazio, nel senso che fissa un verso di percorrenza. Ed è chiaro che i versi di percorrenza sono due (avanti o dietro).

Aggiungiamo una dimensione a tale spazio. Immaginiamo, ad esempio, una membrana (che è appunto uno spazio a due dimensioni, ovvero una superficie). Supponiamo ora che un insetto con aculeo sia in grado di attraversarla perforandola. L'insetto ha a disposizione due versi di percorrenza, ciascuno nel rispettivo semi-spazio creato dalla membrana. L'esempio è più chiaro se la membrana è una superficie chiusa. Senza perdita di generalità, possiamo supporre che sia la superficie di una sfera. Allora l'insetto può provenire dall'interno della sfera, oppure dall'esterno. Abbiamo anche qui due orientazioni possibili della superficie. Diremo semplicemente che c'è "un dentro" e "un fuori".
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[¯|¯] L'insieme di Cantor è un insieme perfetto

domenica, Aprile 9th, 2017

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Ricordiamo che un insieme X è perfetto se ogni suo punto è di accumulazione per X e ogni punto di accumulazione è punto dell'insieme. In altri termini:

Ciò premesso, dimostriamo il teorema:

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Teorema
L'insieme di Cantor è un insieme perfetto

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Dimostrazione

Abbiamo visto che un qualunque x appartenente a C ammette un'espansione ternaria del tipo

I casi possibili sono:

Nel caso 1 definiamo

Al variare di n tale formula definisce la successione di elementi di R:

che è manifestamente convergente a x:

per cui applicando la definizione di limite

onde x è di accumulazione per C. L'asserto segue dall'arbitrarietà di x in C.
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