» Esercizi svolti di Matematica e Fisica

Modello epidemiologico caotico

Problema di Cauchy per un sistema autonomo del primo ordine

Consideriamo il seguente problema di Cauchy:

con f funzione lipschitziana in X (intervallo limitato di R). Per una nota proprietà delle equazioni differenziali che si integrano per separazione di variabili, il non annullarsi di f in x0, implica che dobbiamo escludere la soluzione costante x(t)=x₀, e quindi eseguire una quadratura per separazione di variabili:

essendo C una costante di integrazione. Denotando con G(x) una primitiva della reciproca di f(x), si ha che l'integrale generale dell'equazione differenziale è implicitamente definito da:

Posted in Teoria dei sistemi dinamici | No Comments »

Entropia di una pandemia

Denotiamo con x(t) la funzione che enumera i contagiati da inizio pandemia. Ne consegue che la derivata prima di tale funzione:

esprime il tasso giornaliero dei contagi (a rigore, dovremmo dapprima campionare la variabile tempo in giorni). Supponendo che tali funzioni siano definite in [0,+oo), il numero di contagiati totali è dato dal seguente integrale generalizzato:

che è necessariamente convergente. Quindi, un qualunque modello matematico di pandemia è caratterizzato da una funzione

sommabile in [0,+oo). Un modello realistico è quello in cui tale funzione è, per t->oo, un infinitesimo di ordine maggiore di 1 (rispetto all'infinitesimo di riferimento 1/t). Più precisamente, possiamo modellizzare il processo pandemico attraverso un sistema dinamico autonomo con un'assegnata condizione iniziale che dà luogo al seguente problema di Cauchy:

In tale classe di sistemi autonomi, selezioniamo tutti e soli quelli caratterizzati da una derivata prima della funzione x(t), sommabile in [0,+oo). Con ovvio significato dei simboli:

Posted in Teoria dei sistemi dinamici | No Comments »