» Esercizi svolti di Matematica e Fisica

Congetture di Aizerman e Kalman

Congettura di Aizerman
Se il sistema lineare è asintoticamente stabile per ogni f(y)=ky, con k in [k₁,k₂] allora l'origine del sistema a ciclo chiuso, mostrato in Figura 1, con una non linearità tempo invariante

è asintoticamente stabile.

Aizerman congettura che se il vettore Ax+Bφ(y) è Hurwitz per ogni funzione lineare phi;(·), allora il punto x=0 può essere globalmente asintoticamente stabile per ogni funzione tale che il rapporto

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Well-posedness del problema (Stabilità dei sistemi di controllo)

Le ipotesi di osservabilità e controllabilità ci assicurano che {A,B,C,D} è una realizzazione minima del sistema lineare, cui corrisponde una G(s) razionale propria. La funzione φ(·) deve essere tale che il sistema a ciclo chiuso possieda una soluzione unica: una condizione sufficiente affinchè l'equazione dx/dt=Ax-Bφ(·)(Cx), nel caso D=0, abbia una soluzione unica è che la funzione φ(·) sia almeno Lipschitz in un intorno dello zero (condizione di esistenza ed unicità locale). Nel caso D diverso da 0 occorre aggiungere una condizione più restrittiva. Si deve verificare anche che la relazione ingresso-uscita

abbia una unica soluzione y=h(x): se la funzione φ(·) è monotona si può dimostrare che y=Cx+Dφ(y) possiede un'unica soluzione y=h(x) per ogni x appartenente a Rⁿ [1].
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