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I polinomi di Legendre e il metodo dei minimi quadrati

domenica, Aprile 26th, 2020

Per quanto precede, assegnata una funzione f(x) in [a,b] e un sistema di funzioni

l'errore quadratico medio dell'approssimazione di f(x) mediante la somma

assume un minimo se i coefficienti della predetta combinazione lineare risolvono il seguente sistema lineare:

dove

Precisamente, ammettendo di scegliere il predetto sistema di funzioni in modo da avere

e denotando con

l'unica soluzione del sistema di equazioni lineari scritto più sopra, si ha

essendo

Tuttavia il sistema di equazioni lineari ha un carico computazionale elevato (specie per n molto grande) che però, può essere ridotto se le funzioni φ_i(x) sono tali che

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Metodo dei minimi quadrati: implementazione in Mathematica (parte 1)

giovedì, Aprile 23rd, 2020

Per minimizzare l'errore quadratico medio per un generico ordine di approssimazione n, conviene studiare l'espressione generale:

Per determinare gli eventuali punti estremali di tale funzione reale delle n+1 variabili reali c0,...,c_{n}, dobbiamo risolvere il sistema di equazioni

A tale scopo, esplicitiamo il primo membro

Calcoliamo a parte

dove troviamo la delta di Kronecker:

onde

Quindi

Ne consegue che il sistema precedente si riscrive

Cioè

Se poniamo

riesce

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