How do you find the envelope of a family of curves?

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How do you find the envelope of a family of curves?

lunedì, Dicembre 21st, 2020

Exercise

Determine the envelope of the family of plane curves:

Solution
The system of equations that interests us is

where

for which

We immediately see that (0,0) is a solution for every &lamba;, so that (0,0) is a base point for &Fphi;, i.e. all the curves of the family pass through the origin of the coordinates. Discarding this solution, we proceed:

which replaced in the first of the system

We thus obtained the following parametric representation of the envelope curve:

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Inviluppo di una famiglia di curve piane (Envelope of a family of plane curves)

domenica, Dicembre 20th, 2020

Dopo aver introdotto l'evoluta e l'evolvente in teoria delle curve piane, passiamo alla definizione di curva inviluppo di una famiglia di curve piane regolari. Dal nome si intuisce che si tratta di una curva tale che in ogni suo punto passa una ed una sola curva della famiglia che risulta ivi tangente all'inviluppo.
La ricerca dell'inviluppo non è semplice in quanto richiede l'applicazione del teorema del Dini esteso a un sistema di due equazioni. Rilassando le condizioni di regolarità del predetto teorema si perviene all'esistenza di soluzioni improprie geometricamente denominate punti base della famiglia assegnata.

Scarica la soluzione in pdf

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