» Esercizi svolti di Matematica e Fisica

[¯|¯] Simboli di Christoffel

mercoledì, Luglio 17th, 2019

Seguendo le orme di Vladimir Belinski esprimiamo i Gamma Symbols in funzione del tensore metrico, per poi denominarli simboli di Christoffel. Il nostro punto di partenza è la seguente proposizione che esprime l'annullarsi della derivata covariante del tensore metrico:

Proposizione

Dim.
Per un qualunque campo vettoriale A_µ(x), si ha

Ma

per cui

Sviluppiamo la derivata covariante a primo membro:

Cioè

onde l'asserto.

Dalla proposizione appena dimostrata segue

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[¯|¯] Regole di derivazione covariante

martedì, Luglio 16th, 2019

Riscriviamo le formule

da cui la seguente regola: per un qualunque tensore misto di rango r

la derivata covariante è

tale che a ogni indice covariante bisogna aggiungere un termine contenente i Gamma Symbols. Precisamente:

mentre per ogni indice controvariante:

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