Esercizio di elettrostatica risolto con la legge di Gauss

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Esercizio di elettrostatica risolto con la legge di Gauss

lunedì, Dicembre 19th, 2022

Ebooks e articoli consigliati:
Legge di Coulomb; legge di Gauss
Analisi vettoriale.

Esercizio
Risolvere l'esercizio applicando la legge di Gauss

Soluzione

In unità SI e con ovvio significato dei simboli:

La simmetria cilindrica del problema suggerisce di assumere come superficie S, quella del cilindro circolare retto di asse z e altezza L come illustrato in fig.

da cui vediamo che:

Procedendo per decomposizione nell'integrale di superficie che esprime il flusso del campo elettrico:

In virtù della simmetria cilindrica è E=E(r) cioè il campo dipende dalla sola coordinata radiale (siamo in coordinate cilindriche) r che è poi il raggio del cilindro della fig. precedente. L'elemento di superficie di S si calcola facilmente: ds=rdφdz. Quindi calcoliamo l'integrale:

Per la legge di Gauss:

Siccome si suppone nota la densità di carica lineare (ρ₀=costante) lungo l'asse del cilindro, si ha che Q=ρ₀L, onde dalla precedente equazione

Indice

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Cos'è la divergenza di un campo vettoriale?

domenica, Dicembre 18th, 2022

campo vettoriale, divergenza,formula di Ostrogradskij — **Fig. 1**

Consigliato:
Analisi vettoriale.

Esercizio
Dimostrare la formula riportata in fig. 1.

Soluzione

Rammentiamo innanzitutto il teorema della divergenza:

essendo D un dominio regolare di R³, mentre n e dσ sono rispettivamente la normale esterna e l'elemento di superficie della frontiera di D.
Osservazione
Sul "Smirnov" (fig. 1 tale teorema è noto come «formula di Ostrogradskij».)
Come è noto, il secondo membro del teorema della divergenza è il flusso del vettore A uscente dalla frontiera di D:

Assumendo assegnato D e quindi una qualche rappresentazione (implicita, parametrica, etc.) della superficie "frontiera di D", è in linea di principio possibile esprimere l'elemento di superficie vettoriale ndσ, dopodiché calcolare l'integrale di superficie ridotto a un ordinario integrale doppio.
Ciò premesso, fissato ad arbitrio un dominio T contenuto in D, per il teorema della media integrale:

per cui

Fissato ad arbitrio P in T e contraendo T su Q, necessariamente Q->P, cosicché

Questa operazione di passaggio al limite suggerisce la seguente definizione:

essendo il numeratore a secondo membro il flusso di A attraverso una «piccola superficie» (i.e. al limite infinitesima) che racchiude il punto P in cui calcoliamo divA.

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