Dalla legge di Coulomb alla legge di Gauss. La densità di energia elettrostatica

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Dalla legge di Coulomb alla legge di Gauss. La densità di energia elettrostatica

venerdì, Dicembre 16th, 2022

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Da oggi rilasciamo una serie di handbook (i.e. "manuale utente") di Elettromagnetismo che potrebbero interessare studenti alle prese sia con l'esame di Fisica 2 che con un tipico esame di elettromagnetismo (a Fisica o a Ingegneria). Fondamentalmente, è elettrodinamica classica, e gli argomenti più avanzati (che non vengono trattati in Fisica 2) verranno asteriscati (si pensi ai complicati problemi al contorno per l'elettrostatica).

Come testo di riferimento abbiamo seguito il famoso "Jackson" (Elettrodinamica classica) le cui ultime edizioni sono scritte nel sistema di unità di misura SI (più adatto agli ingegneri). Noi abbiamo preferito incorporare i vari coefficienti in una costante k che assumerà valori diversi nei rispettivi sistemi di misura. Tutto ciò per non creare confusione.

Un altro termine di riferimento è il "Landau" (Elettrodinamica dei mezzi continui), ma è decisamente più complicato dal punto di vista matematico, trattandosi di un testo di Fisica Teorica.

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Legge di Gauss

mercoledì, Dicembre 14th, 2022

È indispensabile una buona conoscenza di
Analisi vettoriale.

Abbiamo visto che il campo elettrico generato da una distribuzione di cariche ρ(x) è

Il calcolo di quest'integrale non è sempre agevole, per cui si ricorre alla cosiddetta legge di Gauss. Consideriamo una carica puntiforme q allocata in un punto P0 di una regione D di volume V. Matematicamente, D è un dominio regolare di R³ per cui la sua frontiera è uan superficie regolare S. In un generico punto P di S si consideri l'elemento di superficie dσ che come è noto può essere «vettorializzato» come dσ=nddσ essendo n il versore della normale esterna a S (tale superficie è orientabile per cui il campo di versori n(P) è univocamente definito. (fig. 1).
Sia E il campo elettrico in P generato da q. Valutiamo il prodotto scalare

essendo θ l'angolo tra E ed n. Il modulo del vettore E si calcola facilmente:

dove r=dist(P₀,P) mentre k è la solita costante dipendente dal sistema di unità di misura. Quindi

È comodo invocare l'angolo solido elementare:

onde

Ora non dobbiamo fare altro che integrare su S o ciò che è lo stesso sull'angolo solido totale (4π):

Generalizzando a una distribuzione di cariche di densità ρ(x)

che è la legge di Gauss. Si tratta, dunque, di una rappresentazione integrale del campo elettrico generato da una assegnata distribuzione di carica elettrica. In altri termini, è una formulazione integrale della legge di dell'elettrostatica. Data la sua importanza, discutiamone gli aspetti matematici. Innanzitutto, dall'analisi vettoriale: