Spettro del corpo nero (Lezione 1)

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Spettro del corpo nero (Lezione 1)

venerdì, Marzo 5th, 2021

corpo nero,potere emissivo,potere assorbitivo — **Fig. 1**

Un corpo C (solido o liquido) in equilibrio termodinamico alla temperatura T, emette radiazione elettromagnetica (irraggiamento) che per T non eccessivamente alta è nella banda dell'infrarosso. Sia C matematizzabile attraverso un dominio
dello spazio ordinario R³. L'energia emessa dall'elemento di superficie dσ nel cono di angolo solido dΩ il cui asse forma un angol θ con il versore n della normale esterna alla frontiera di C, nell'unità di tempo e nell'intervallo di frequenze [ν,ν+dν], può essere scritta come:

dove la grandezza non negativa e(ν,T) è ilpotere emissivo di C. Se invece irradiamo il corpo, parte dell'energia incidente viene assorbita, e parte viene riflessa. Definiamo allora il potere assorbitivo:

Qui intendiamo "energia assorbita" relativamente all'intervallo di frequenze [ν,ν+dν], per cui si tratta di una densità spettrale di energia.

Ciò premesso, consideriamo una cavità le lcui pareti sono in equilibrio alla temperatura T. Per quanto precede, le pareti emettono energia elettromagnetica; trattandosi di una cavità, tale energia non può "uscire" per cui viene riassorbita dalle pareti, fino al raggiungimento di uno stato di equilibrio (emissione=assorbimento). Attraverso considerazioni termodinamiche si può dimostrare che in tali condizioni la densità spettrale di energia è una funzione universale u(ν,T), nel senso che non dipende dal punto in cui si determina il campo elettromagnetico né dalla direzione di propagazione del campo medesimo. In altri termini, all'equilibrio il campo all'interno della cavità è omogeneo ed isotropo. Fissiamo, ora, la nostra attenzione alle pareti della cavità (fig. 1). Preso ad arbitrio l'elemento di superficie ds della parete della cavità, denotiamo con n il versore della normale interna. L'energia che si propaga nell'unità di tempo nel cono di angolo solido dΩ e di frequenza in [ν,ν+dν] è

dove c è la velocità della luce. Parte di tale energia viene assorbita dal predetto elemento di superficie. Precisamente:

D'altra pare, l'energia emessa da dσ, nell'unità di tempo e nello stesso dν è

Alll'equilibrio le predette grandezze devono essere uguali, per cui

Nel caso particolare di un corpo nero:

Ne segue che la densità spettrale di energia all'interno di una cavità le cui pareti siano mantenute alla temperatura T, è a meno di unua costante moltiplicativa, il potere emissivo del corpo nero. In altri termini, se riusciamo a determinare il potere emissivo del corpo nero, veniamo a conoscenza della funzione universale u(ν,T).

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Sistema del laboratorio e sistema del centro di massa (urto elastico)

giovedì, Marzo 4th, 2021

sistema del laboratorio,sistema del centro di massa,urto elastico — **Fig. 1**

In molti casi riesce utile studiare la dinamica di un processo d'urto nel sistema di riferimento in cui il centro di massa è in quiete. Tale sistema è inerziale giacché il centro di massa si muove di moto rettilineo ed uniforme. Consideriamo dapprima il caso di un urto elastico unidimensionale. In particolare, abbiamo due palline di massa m1 e m2=2m1; quest'ultima è ferma mentre la prima avanza verso la seconda con velocità v1. Quindi possiamo calcolare le velocità delle singole palline subito dopo l'urto, utilizzando le formule trovate in precedenza:

Ne segue che a causa dell'urto la pallina 1 inverte il proprio moto muovendosi con velocità pari a 1/3 della velocità prima dell'urto. La pallina 2, invece, parte con velocità pari ai 2/3 della velocità di 1. Se x₁⁽⁰⁾ e x₂⁽⁰⁾ sono le ascisse iniziali di singola pallina, l'ascissa iniziale del centro di massa C è

Supponendo che la pallina 1 inizi a muoversi in un istante iniziale t0=0 rispetto al sistema di riferimento K0 legato al laboratorio, il centro di massa inizierà a muoversi nel medesimo istante con velocità

È istruttivo studiare la dinamica dell'urto attraverso un diagramma spazio-temporale che rappresenti il moto di tre punti (palline e centro di massa) illustrato in fig. 1 (in alto), in cui vediamo che il centro di massa continua indisturbato il proprio moto rettilineo uniforme. Infatti, la velocità dopo l'urto è

Studiamo ora la dinamica dell'urto nel sistema di riferimento Kc in cui il centro di massa è in quiete. Per la pallina 1 prima dell'urto, per il principio dei moti relativi si ha:

dove l'apice denota la velocità relativa (cioè, rispetto a Kc). Ne segue

Per la pallina 2

Quindi un osservatore fermo in Kc vede avanzare entrambe le palline, la prima con velocità i 2/3 della velocità rispetto al laboratorio, mentre la seconda con velocità pari a 1/3 della velocità rispetto al laboratorio della medesima pallina. Dopo l'urto: