Cos'è la divergenza di un campo vettoriale?

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Cos'è la divergenza di un campo vettoriale?

domenica, Dicembre 18th, 2022

campo vettoriale, divergenza,formula di Ostrogradskij — **Fig. 1**

Consigliato:
Analisi vettoriale.

Esercizio
Dimostrare la formula riportata in fig. 1.

Soluzione

Rammentiamo innanzitutto il teorema della divergenza:

essendo D un dominio regolare di R³, mentre n e dσ sono rispettivamente la normale esterna e l'elemento di superficie della frontiera di D.
Osservazione
Sul "Smirnov" (fig. 1 tale teorema è noto come «formula di Ostrogradskij».)
Come è noto, il secondo membro del teorema della divergenza è il flusso del vettore A uscente dalla frontiera di D:

Assumendo assegnato D e quindi una qualche rappresentazione (implicita, parametrica, etc.) della superficie "frontiera di D", è in linea di principio possibile esprimere l'elemento di superficie vettoriale ndσ, dopodiché calcolare l'integrale di superficie ridotto a un ordinario integrale doppio.
Ciò premesso, fissato ad arbitrio un dominio T contenuto in D, per il teorema della media integrale:

per cui

Fissato ad arbitrio P in T e contraendo T su Q, necessariamente Q->P, cosicché

Questa operazione di passaggio al limite suggerisce la seguente definizione:

essendo il numeratore a secondo membro il flusso di A attraverso una «piccola superficie» (i.e. al limite infinitesima) che racchiude il punto P in cui calcoliamo divA.

(altro…)

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Dalla legge di Coulomb alla legge di Gauss. La densità di energia elettrostatica

venerdì, Dicembre 16th, 2022

legge di gauss,legge di coulomb,densità di energia elettrostatica

Da oggi rilasciamo una serie di handbook (i.e. "manuale utente") di Elettromagnetismo che potrebbero interessare studenti alle prese sia con l'esame di Fisica 2 che con un tipico esame di elettromagnetismo (a Fisica o a Ingegneria). Fondamentalmente, è elettrodinamica classica, e gli argomenti più avanzati (che non vengono trattati in Fisica 2) verranno asteriscati (si pensi ai complicati problemi al contorno per l'elettrostatica).

Come testo di riferimento abbiamo seguito il famoso "Jackson" (Elettrodinamica classica) le cui ultime edizioni sono scritte nel sistema di unità di misura SI (più adatto agli ingegneri). Noi abbiamo preferito incorporare i vari coefficienti in una costante k che assumerà valori diversi nei rispettivi sistemi di misura. Tutto ciò per non creare confusione.

Un altro termine di riferimento è il "Landau" (Elettrodinamica dei mezzi continui), ma è decisamente più complicato dal punto di vista matematico, trattandosi di un testo di Fisica Teorica.

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