» Esercizi svolti di Matematica e Fisica

Campo elettrico radiale in coordinate cilindriche

mercoledì, Dicembre 21st, 2022

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Teorema

In coordinate cilindriche, il lavoro svolto per spostare una carica puntiforme in un campo elettrico puramente radiale con legge:

da un punto di coordinata radiale r a un punto di coordinata radiale ar, è indipendente da r, essendo a > 0 un arbitrario fattore di scala.

Dim.

Deve essere

L'operatore nabla in coordinate cilindriche si scrive:

Nel caso in esame non c'è dipendenza dalle coordinate φ,z per cui

E quindi l'energia potenziale

Il lavoro svolto per spostare la carica da P(r,φ,z) a P(ar,φ',z')

onde l'asserto.

(altro…)

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Esercizio di elettrostatica risolto con la legge di Gauss

lunedì, Dicembre 19th, 2022

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Esercizio
Risolvere l'esercizio applicando la legge di Gauss

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Soluzione

In unità SI e con ovvio significato dei simboli:

La simmetria cilindrica del problema suggerisce di assumere come superficie S, quella del cilindro circolare retto di asse z e altezza L come illustrato in fig.

da cui vediamo che:

Procedendo per decomposizione nell'integrale di superficie che esprime il flusso del campo elettrico:

In virtù della simmetria cilindrica è E=E(r) cioè il campo dipende dalla sola coordinata radiale (siamo in coordinate cilindriche) r che è poi il raggio del cilindro della fig. precedente. L'elemento di superficie di S si calcola facilmente: ds=rdφdz. Quindi calcoliamo l'integrale:

Per la legge di Gauss:

Siccome si suppone nota la densità di carica lineare (ρ₀=costante) lungo l'asse del cilindro, si ha che Q=ρ₀L, onde dalla precedente equazione

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