[¯|¯] Alcune osservazioni sulle funzioni sommabili

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[¯|¯] Alcune osservazioni sulle funzioni sommabili

sabato, Marzo 2nd, 2019

funzioni sommabili,criteri di sommabilità,teorema,condizioni sufficienti ma non necessarie — **Fig. 1**.

Abbiamo stabilito l'esistenza di una classe di funzioni continue in (-oo,+oo) ed ivi sommabili, pur non annullandosi all'infinito. La più generale funzione della predetta classe è:

ove b > 0, mentre η(x) se non è una costante è divergente all'infinito. invece, la funzione χ(x) è periodica. Ad esempio:

Per quanto stabilito:

Ciò è una conseguenza del fatto che i criteri di sommabilità esprimono condizioni sufficienti ma non necessarie. Nel caso particolare della sommabilità in un intervallo illimitato, si ha, ad esempio:

Ciò premesso, dimostriamo il teorema:

Teorema

Dim.

Per fissare le idee, supponiamo X=(a,+oo). Procediamo per assurdo, negando la tesi:

dove

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[¯|¯] Il fantasma di Hilbert

mercoledì, Febbraio 27th, 2019

fantasma di hilbert,meccanica quantistica,spazi di hilbert,funzioni di modulo quadro sommabile

I criteri dimostrati nei post precedenti,esprimono condizioni sufficienti, ma non necessarie per la sommabilità di una funzione generalmente continua in un intervallo (limitato o illimitato). Un esempio di funzione non regolare all'infinito ma comunque sommabile in [0,+oo) è f(x)=x*exp(-x^6 * sin(x)^2).
Questo esempio è trattato in un vecchio libri di analisi matematica (a quanto pare, i libri vecchi sono i migliori : ), in cui vengono mostrati i seguenti punti:

f è non regolare all'infinito (cioè non ammette limite. In particolare, non si annulla definitivamente intorno a +oo)
f è sommabile in [0,+oo) pur non annullandosi in un qualunque intorno di +oo.

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