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Hermite non conosce Gibbs. Quand'è che un sistema di funzioni è completo?

martedì, Aprile 28th, 2020

In un post precedente abbiamo approssimato una funzione a gradino con una combinazione lineare di polinomi di Legendre, osservando il famigerato fenomeno di Gibbs generato dalla discontinuità di prima specie della funzione assegnata. Ripetendo l'esperimento computazionale con le autofunzioni dell'energia di un oscillatore armonico unidimensionale, scopriamo l'assenza del predetto fenomeno.
Tuttavia, lo scopo principale dell'articolo consiste nell'introdurre euristicamente l'importantissima proprietà di completezza di un sistema di funzioni ortonormali in un assegnato intervallo [a,b] del campo reale.

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I polinomi di Legendre e il metodo dei minimi quadrati

domenica, Aprile 26th, 2020

Per quanto precede, assegnata una funzione f(x) in [a,b] e un sistema di funzioni

l'errore quadratico medio dell'approssimazione di f(x) mediante la somma

assume un minimo se i coefficienti della predetta combinazione lineare risolvono il seguente sistema lineare:

dove

Precisamente, ammettendo di scegliere il predetto sistema di funzioni in modo da avere

e denotando con

l'unica soluzione del sistema di equazioni lineari scritto più sopra, si ha

essendo

Tuttavia il sistema di equazioni lineari ha un carico computazionale elevato (specie per n molto grande) che però, può essere ridotto se le funzioni φ_i(x) sono tali che

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