» Esercizi svolti di Matematica e Fisica

[¯|¯] Lezioni sulle Equazioni Differenziali

Con questo post riprendiamo i video sulle Equazioni Differenziali Ordinarie (ODE).

Ricordiamo che un'equazione differenziale ordinaria è un'equazione in cui come incognita compare una funzione y(x). Quindi, la più generale equazione differenziale è:

F(x,y,y',...)=0

Il massimo ordine della derivata definisce l'ordine dell'equazione differenziale. In molti casi, è possibile esplicitare la derivata di ordine massimo, e in tal caso l'equazione si dice in forma normale. Ad esempio:

y''=f(x,y,y')

è un'equazione differenziale del secondo ordine in forma normale.

Le equazioni differenziali compongono uno dei capitoli più complicati dell'analisi matematica. Per non parlare, poi, delle equazioni differenziali alle derivate parziali (qui la funzione incognita è una funzione di più variabili).

Premesso ciò, ecco il video:

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[¯|¯] Linearità di un sistema dinamico

Un sistema dinamico è lineare se e solo se l'equazione differenziale che regola la sua evoluzione temporale è lineare. Nel caso contrario, si dirà non lineare.

Un classico esempio di sistema dinamico è lineare è dato dalla "crescita esponenziale". Qui l'equazione differenziale oltre a essere lineare è del primo ordine. Precisamente y'=A*y, dove la notazione apicale di Lagrange denota la derivazione rispetto al tempo (avrei dovuto utilizzare - come si usa - il punto, ma l'editor di wordpress non lo permette). La soluzione è, appunto, un esponenziale. In effetti, molti confondono la linearità con l'evoluzione temporale, mentre abbiamo appena visto che nel caso del sistema governato dalla y'=A*y, siamo ben lontani dalla linearità!
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