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A property of linear first-order differential equations

mercoledì, Gennaio 22nd, 2025

We study a property of the solutions of a particular class of first-order differential equations in which the known term is a piecewise continuous function:

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Risoluzione di un problema di Cauchy con uno sviluppo in serie di Taylor

lunedì, Dicembre 13th, 2021

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Esercizio
Risolvere il problema di Cauchy riportato in fig. 1. Per l'integrazione dell'equazione differenziale si utilizzi lo sviluppo in serie di Taylor di punto iniziale x₀=-1 troncato al quarto ordine. Si confronti il risultato con quello trovato utilizzando un software del tipo Mathematica, trovando il raggio del predetto intorno.

Soluzione

Si tratta di sviluppare la soluzione del problema assegnato in serie di Taylor di punto iniziale x₀=-1:

Se siamo interessati alla soluzione in un intorno di x₀=-1, arrestiamo lo sviluppo a un ordine assegnato. Il testo dell'esericizio dice di arrestare al quarto ordine:

Dai dati iniziali:

Per calcolare la derivata secondo in x=-1, riscriviamo l'equazione differenziale assegnata:

onde

Per il calcolo della derivata terza, deriviamo l'equazione scritta più sopra

Quindi

Derivando nuovamente:

cosicché

(altro…)

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