» Esercizi svolti di Matematica e Fisica

Serie convergente ma non assolutamente convergente

Esercizio tratto (e modificato) dal Gizzetti. La soluzione è nostra.

Riesce

Cioè il termine n-esimo è un infinitesimo di ordine 1, per cui la serie assegnata non è assolutamente convergente. D'altra parte, posto

si ha che la successione {c_n} è decrescente ed infinitesima, per cui per il Teorema 3 la serie assegnata è convergente.

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Tre teoremi sulla convergenza non assoluta di una serie numerica

Nei numeri precedenti abbiamo stabilito che la convergenza assoluta è una condizione sufficiente per la convergenza di una serie. Tuttavia, tale condizione non è necessaria. Enunciamo (senza dimostrare) tre teoremi sulla convergenza non assoluta.

Teorema 1

Hp
La successione delle somme parziali {S_p} relative a una assegnata serie

è superiormente limitata. Inoltre, la successione di numeri reali non negativi {c_n} è non crescente ed infinitesima.

Th
La serie

è convergente.

Teorema 2

Hp
La serie

è convergente. Inoltre, la successione di numeri reali {c_n} è non crescente ed inferiormente limitata.

Th
La serie

è convergente.

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