» Esercizi svolti di Matematica e Fisica

[¯|¯] Diagonalizzazione di una matrice in ambiente Mathematica

Assegnata una matrice quadrata di ordine n su un campo K:

dove P è un'opportuna matrice, mentre A_diag è diagonale. Per un noto teorema, A diagonalizzabile se e solo se ammette n autovettori linearmente indipendenti. In tal caso il sistema di autovettori è una base dello spazio vettoriale Kn, e la matrice P è la matrice di passaggio dalla base canonica del predetto spazio alla base degli autovettori. Ne consegue che la diagonalizzazione di una matrice si riduce al problema della ricerca degli autovalori e dei corrispondenti autovettori. Problema a volte rognoso, data la mole di calcoli.

Vediamo come risolverlo rapidamente con Mathematica, considerando il seguente esempio:

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[¯|¯] Dimensione del sottospazio delle matrici a traccia nulla

Denotiamo con M_R(n,n) lo spazio vettoriale (sul campo reale) delle matrici quadrate di ordine n. Se T_R(n) è il sottospazio delle matrici a traccia nulla, dimostrare che dimT_R(n)=n²-1.
Soluzione
Nell'esercizio abbiamo stabilito che T_R(2) è un sottospazio vettoriale 3-dimensionale di M_R(2,2). Segue che T_R(n) è un sottospazio di M_R(n,n) per ogni intero naturale n. Per determinarne la dimensione, osserviamo che

dove il termine n-1 conteggia gli elementi a₁₁, a₂₂,...,a_n-1,n-1, mentre n²-n enumera gli elementi fuori diagonale. D'altra parte il numero di parametri liberi è la dimensione di T_R(n), onde

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