La funzione di Airy e il neutrone in caduta libera

Marzo 16th, 2021 | by Marcello Colozzo |

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Se il neutrone fosse un oggetto classico, il problema della caduta libera si risolverebbe al volo. Infatti, orientando un asse x verso l'alto, si ha che il potenziale del campo di gravità è

dove m è la massa del neutrone e g l'accelerazione di gravità. Si noti che abbiamo posto lo zero del potenziale in x=0 (suolo). Applicando il secondo principio della dinamica si perviene all'equazione differenziale del moto:

che assieme alle condizioni iniziali x(0)=x0 e d/dt(x(t))=0 (per t=0) restituisce l'unica soluzione

che ci consente di calcolare l'istante di arrivo al suolo:

Schematizzando il suolo come una superficie infinitamente dura, si ha un urto elastico ed è facile determinare la dinamica del processo a tutti i tempi. Sfortunatamente, il neutrone è un oggetto quantistico per cui non è possibile assegnare una condizione iniziale di quella vista prima giacché violerebbe il principio di indeterminazione di Heisenberg. La Meccanica quantistica ci dice che dobbiamo risolvere lo spettro dell'operatore hamiltoniano:

Dal momento che il suolo è una superficie infinitamente dura, si ha:

Per un assegnato valore E=mgx₀ dell'energia, la regione classicamente accessibile

Ne segue che lo spettro dell'hamiltoniano è puramente discreto. Abbiamo, dunque, solo stati legati. Per determinare lo spettro dobbiamo risolvere l'equazione agli autovalori:

cioè integrare l'equazione differenziale del secondo ordine (equazione di Schrödinger non dipendente dal tempo)

Con le condizioni al contorno:

È preferibile passare al dominio degli impulsi. Come è noto, ciò equivale ad eseguire la trasformata di Fourier giacché le autofunzioni dell'energia nel predetto dominio sono:

Eseguendo la trasformata di Fourier delle funzioni che compaiono nell'equazione di Schrödinger, otteniamo la medesima equazione scritta nel dominio degli impulsi:

che è del primo ordine e a variabili separabili:

da cui

Segue

Adimensionalizzando la variabile di integrazione

si ha

che può essere scritta come:

Nota in fisica-matematica come funzione di Airy. Ne segue che la più generale autofunzione dell'energia è la funzione di Airy. Si noti che al variare di E le corrispondenti autofunzioni coincidono a meno di una traslazione spaziale:

e di un inessenziale fattore di scala

Applichiamo le condizioni al contorno:

L'altra condizione implica:

Segue

Cioè

La funzione di Airy ha infiniti zeri sull'asse x negativo. Denotiamo con x_n il valore assoluto dello zero n-esimo:

confrando con la precedente otteniamo gli autovalori dell'energia

In definitiva, possiamo riepilogare i risultati:

In fig. l'andamento qualitativo delle prime tre autofunzioni dell'energia. Abbiamo utilizzato unita adimensionali per evitare errori di arrotondamento.

Supponiamo che nell'istante iniziale t=0 il neutrone sia preparato in una sovrapposizione lineare dei primi 10 livelli:

da cui la funzione d'onda a tutti i tempi:

che può essere graficata per assegnati valori di t (ottenendo quindi una istantanea dell'onda di probabilità). Utilizzando Mathematica otteniamo il grafico della fig.