[¯|¯] Non tensorialità dei Gamma Symbols

Luglio 15th, 2019 | by Marcello Colozzo |

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Abbiamo definito i Gamma Symbols attraverso degli "oggetti" a tre indici, per cui ci poniamo l'ovvia domanda: sono enti tensoriali? Per rispondere riprendiamo l'espressione che definisce la derivata covariante di un vettore A_µ:

In seguito a una generica trasformazione di coordinate si ha:

Si potrebbero scrivere le corrispondenti formule di trasformazione per poi sostituirle per così tirare fuori l'equazione di trasformazione delle Gamma. Ma proviamo il seguente procedimento:

Precisamente, la derivata ordinaria trasforma come:

Segue allora che affinchè la differenza

ia un tensore, i Gamma Symbols dovranno trasformarsi come:

Per esplicitare il secondo termine a secondo membro, prendiamo l'ovvia relazione

Sviluppando la derivata:

Cioè

che sostituita nell'equazione scritta più sopra:

Da tale relazione vediamo che i Gamma Symbols non sono tensori, a causa del termine contenente la derivata seconda, e quest'ultimo si annulla solo per trasformazioni lineari.

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