[¯|¯] Definizione di integrale generalizzato. Rettangoloide generalizzato

Febbraio 9th, 2019 | by Marcello Colozzo |

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Allo scopo di attribuire un significato preciso all'integrale di una funzione generalmente continua e non negativa, che conservi le proprietà dell'integrale di una funzione continua esteso a un intervallo limitato, dobbiamo considerarel'ultima formula vista in precedenza alla stregua di un valore approssimato per difetto del nuovo ente che vogliamo definire. Per quanto precede, l'insieme T (limitato) di continuità per la funzione f, può essere costruito in infiniti modi. Sussiste, quindi, la seguente definizione:

Definizione
Dicesi integrale della funzione f generalmente continua nell'intervallo X (limitato o illimitato), l'estremo superiore dell'insieme

Cioè

Ovviamente

Tale definizione suggerisce di esprimere l'integrale di una funzione generalmente continua e non negativa esteso a un intervallo X, attraverso un'operazone di passaggio al limite. Precisamente, generiamo una successione di insiemi:

tali che f è continua in T_k per k=1,2,...,n,..., e

Da ciò segue

Tale risultato suggerisce la definizione seguente:

Definizione
Dicesi rettangoloide generalizzato di base X e relativo alla funzione f, l'insieme dei punti:

Dal momento che f è generalmente continua, il rettangoloide generalizzato può essere un insieme illimitato. Non lo è, per una funzione con punti di discontinuità di prima specie, e definita in un intervallo limitato.
Nel seguente file pdf è riportato un esempio di calcolo di un integrale generalizzato, in cui il rettangoloide generalizzato è un insieme illimitato ma di misura finita.

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