» Esercizi svolti di Matematica e Fisica

Densità di corrente di probabilità

I risultati del numero precedente idealizzano il moto di un elettrone in un metallo virtuale unidimensionale (di estensione infinita) con un solo sito reticolare occupato da uno ione di carica +e. Per quanto visto, l'elettrone sperimenta un'energia potenziale del tipo buca di potenziale. Ciò vuol dire che lo ione è schematizzato da una buca di potenziale. L'aspetto interessante è costituito dallo spettro [0,+oo) dell'hamiltoniano dell'elettrone. Diversamente, gli stati legati (E < 0) rappresentano una situazione in cui l'elettrone vienee catturato dallo ione, onde è confinato in [-b,b]. Si ricordi che stiamo studiando un problema unidimensionale e come tale non esistente nella realtà fenomenica. tuttavia, la generalizzazione a tre dimensioni è immediata.

Nel nostro modello l'elettrone con energia E >0 ben rappresenta un elettrone di conduzione in un metallo, mentre gli stati legati potrebbero schematizzare un isolante. Il condizionale è d'obbligo perché un modello più realistico cirhciede un reticolo costituito da un numero omacroscopico di siti occupati da ioni. Teoricamente, una distribuzione periodica. Tale sarà allora la funzione energia potenziale e per il Teorema di Bloch, le autofunzioni dell'energia dell'elettrone sono onde piane modulate in ampiezza da una funzione periodica con lo stesso periodo del reticolo. Vedremo che in tal caso, lo spettro dell'hamiltoniano ha una struttura a bande ovvero bande "permesse" separate da "bande proibite". Detto in altro modo, intervalli continui permessi, separati da intervalli altrettanto continui, proibiti i.e. privi di autovalori dell'energia.