» Esercizi svolti di Matematica e Fisica

Moto in un condotto a sezione variabile

Febbraio 6th, 2022 | by Marcello Colozzo |

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Appunti di esercizi di Termotecnica elaborati dell'ing. Giorgio Bertucelli.

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Scriviamo l'equazione di continuità:

Equazione di stato dei gas perfetti:

Equazione dell'energia

dove dq è il calore ceduto al fluido e i è l'entalpia. Scriviamo ora l'equazione delle forze (o della quantità di moto). A tale scopo consideriamo l'elemento di volume Sdx la cui massa è dm=ρSdx, in equilibrio sotto le forze di pressione, di massa e d'attrito. La reazione di attrito per unità di massa è F che compie un lavoro dL=Fdx passando da x a x+dx. Segue

Semplificando e trascurando gli infinitesimi di ordine superiore al primo, scriveremo:

Le quattro relazioni ottenute sono gli strumenti per lo studio del moto. Va ricordato da Fisica Tecnica -- Moto dei fluidi sotto forti differenze di pressioni che la velocità del suono nell'aria è data dalla relazione

dove K=C_pC_v è l'esponente di trasformazione adiabatica, mentre p₁ e v₁ sono rispettivamente la pressione e il volume specifico del fluido nella sezione iniziale del flusso. Segue

dove p_c e v_c sono rispettivamente la pressione e il volume specifico critici nella sezione minima della vena.

Ricordando che

scriveremo

e dunque l'equazione che esprime la velocità del suono diventa:

Il rapporto W/W_Ac è il numero di Mach M

Inoltre si ha:

Ma sappiamo che C_p-C_v=R quindi

Ciò premesso, possiamo scrivere:

a) per l'equazione di continuità: => ρWS=cost => lnρ+lnW+lnS=cost e quindi

b) per l'equazione dell'energia: dq=C_pdT+WdW da cui

c) per l'equazione delle forze:

Dopo qualche passaggio:

Ricordando il rapporto N, possiamo scrivere

Differenziando

Dall'equazione dei gas perfetti

Differenziando

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