Surriscaldamento dei freni a tamburo

Gennaio 17th, 2022 | by Marcello Colozzo |

Esercizio

In un laboratorio vengono eseguiti dei test allo scopo di misurare il surriscaldamento dei freni a tamburo di un autoveicolo di massa m che viene prima lanciato su un percorso orizzontale con velocità iniziale v₀. Senza che vengano azionati i freni, l'autoveicolo si ferma dopo aver percorso una distanza d₁. Azionando i freni, lo spazio di arresto è d₂.
Si determini l'incremento di temperatura dei freni, trascurando il calore ceduto all'ambiente e supponendo nota la capacità termica dei tamburi.

Soluzione

Orientiamo un asse x con l'origine nel punto di partenza (velocità iniziale v₀) dell'autoveicolo, e verso concorde a quello del moto. Senza azionare i freni, l'autoveicolo giunge alla quiete grazie all'attrito che può essere schematizzato attraverso una resistenza passiva in regime lineare:

Il secondo principio della dinamica restituisce l'equazione differenziale

che si integra facilmente per separazione di variabili

e quindi l'equazione oraria del moto

cioè teoricamente, abbiamo una "salita esponenziale":

L'ultimo passaggio si giustifica osservando che la distanza d₁ si suppone nota. L'azione dei freni può essere schematizzata in maniera simile, ossia attraverso una resistenza passiva:

Ne segue che azionando i freni, il veicolo è rallentato oltre che dall'azione di questi ultimi anche dall'attrito, per cui l'equazione differenziale del moto è

Di nuovo, integrando:

Abbiamo:

Tenendo conto dell'espressione per b₁

L'energia cinetica iniziale viene progressivamente dissipata in calore. Più precisamente, è l'energia cinetica di rotazione delle ruote che viene dissipata. Per ipotesi i tamburi assorbono ma non cedono calore all'ambiente. Quindi non dobbiamo fare altro che applicare il primo principio della termodinamica

passando a quantità finite. Nel nostro caso la variazione di energia interna è nulla, per cui se Q e L sono rispettivamente il calore assorbito e il lavoro svolto, si ha:

Ma dobbiamo stare attenti ai segni delle singole grandezze, giacché in termodinamica si considera positivo il calore assorbito dal sistema, e viceversa per il lavoro (positivo se eseguito sull'ambiente). Il sistema termodinamico in esame è costituito dai tamburi e conosciamo la capacità termica C. Il calore è assorbito, dunque Q > 0, ma il lavoro è negativo perché è eseguito sull'esterno (per frenare l'autoveicolo). Quindi dobbiamo scrivere:

La quantità di calore assorbita è

essendo ΔT l'incognita del problema, cioè l'incremento di temperatura. Calcoliamo ora il lavoro; quest'ultimo altro non è che il lavoro eseguito dalla forza frenante: