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Trasformazioni di gas perfetti

Gennaio 13th, 2022 | by Marcello Colozzo |

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Per quanto precede, le variabili di stato per tali sistemi termodinamici sono P,V,T, di cui solo due sono indipendenti, in virtù dell'equazione di stato PV=nRT. In fig.

riportiamo alcune trasformazioni rappresentate nel piano di Clapeyron. Precisamente: trasformazioni isocore (a volume costante), trasformazioni isobariche (a pressione costante), trasformazioni isoterme (a temperatura costante). Le prime due sono rappresentate da segmenti di retta, mentre le isoterme da rami di iperbole equilatera.

Dobbiamo poi considerare le trasformazioni adiabatiche che per quanto visto avvengono senza scambi di calore con l'ambiente. Nel paragrafo citato avevamo trovato:

La derivata parziale della temperatura rispetto al volume, può essere calcolata attraverso l'equazione di stato, assumendo P costante:

in virtù della linearità della funzione T(V). Ne segue

Integrando

Cioè

A noi interessa la trasformazione adiabatica scritta nel piano di Clapeyron:

onde

Quindi anche le adiabatiche sono rami di iperboli nel predetto piano. Per valutarne la pendenza, dobbiamo determinare la derivata prima. Nel caso di una isoterma, si trova:

Nel caso di una adiabatica:

Tenendo conto della relazione trovata nella lezione precedente e cioè c_P-c_V=R, si ha

Tuttavia non conoscendo il valore numerico di γ (a meno di casi particolari), non siamo in grado di stabilire la pendenza delle adiabatiche rispetto alle isoterme. Possiamo comunque fare il seguente ragionamento: consideriamo una compressione adiabatica di un gas perfetto che riduce il volume da V₁ (a temperatura T₁) a V₂ (fig. 1).

Riducendo il volume, la temperatura aumenta per cui l'adiabatica interseca isoterme a temperatura monotonamente crescente, fino al raggiungimento di dello stato finale B a temperatura T₂ > T₁. Nella citata figura, sono tracciate le isoterme:

per cui l'adiabatica ha l'andamento rappresentato dall'arco di iperbole tracciato in rosso, e vediamo che ha in (valore assoluto) una pendenza maggiore delle isoterme.

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